VIERECKE KONSTRUIEREN
1 · SO BENUTZT DU DIESE SEITE
▸ Diese Seite ist dein Nachschlagewerk: Lies vor der Konstruktion die passende Grundfertigkeit, dann die Kachel des Vierecks.
▸ Wenn du beim Konstruieren festhängst: Schritte nachlesen, typische Fehler checken, Begriff im Glossar nachschlagen.
▸ Zur Klassenarbeit: Alle Selbst-Checks durcharbeiten. Und: Konstruktionsspuren nie radieren — sie sind der Nachweis, dass du richtig konstruiert hast!
2 · WERKZEUG & GRUNDFERTIGKEITEN
- Zirkel — Strecken abtragen, Bögen schlagen (nie die Spitze verschieben, während du misst!)
- Geodreieck — Winkel übertragen, rechte Winkel zeichnen
- Spitzer Bleistift — Punkte präzise setzen, Hilfslinien dünn
- ⚠ Das Lineal dient zum Zeichnen — in Konstruktionsaufgaben nie zum Abmessen von Punktlagen. Messen ist nur Kontrolle nach der Konstruktion!
STRECKE ABTRAGEN
Zirkel auf das Maß einstellen (Skala am Geodreieck), Zirkelspitze auf den Endpunkt setzen, Bogen schlagen — der zweite Punkt liegt auf dem Bogen.
Falle: Punkte „mit dem Lineal angepeilt" — das ist Abmessen, nicht Konstruieren.
RECHTEN WINKEL ERRICHTEN
Grundlinie ziehen, die 0-Linie des Geodreiecks genau auf die Linie legen, der Scheitelpunkt muss genau auf dem Punkt liegen — dann die 90°-Linie zeichnen.
Falle: Scheitel nicht exakt auf dem Punkt — alles danach ist verschoben.
WINKEL ANTRAGEN
Scheitel des Geodreiecks auf den Punkt, 0-Linie auf den Schenkel legen, gewünschten Winkel markieren, Markierung mit dem Scheitelpunkt verbinden.
Falle: Innen-/Außenskala verwechselt (60° statt 120°). Frage vorher: „Muss der Winkel spitz oder stumpf sein?"
MITTELSENKRECHTE KONSTRUIEREN
Um beide Endpunkte der Strecke gleich große Bögen schlagen (Radius größer als die halbe Strecke), beide Schnittpunkte der Bögen verbinden.
Falle: „Die Mitte schätzen" — der größte Genauigkeits-Killer bei Raute und Trapez.
PRÜFEN STATT SCHÄTZEN
Gleiche Seiten mit dem Zirkel abgreifen und vergleichen, Winkel durch Anlegen kontrollieren, bei Symmetrie: Falt- oder Spiegelprobe.
Falle: Unfertig aufhören — die Kontrolle gehört zur Konstruktion dazu.
BESCHRIFTEN & SPUREN
Ecken immer gegen den Uhrzeigersinn beschriften: A → B → C → D. Winkel: α (bei A), dann β, γ, δ. Diagonalen benennen, Maße mit Einheit schreiben.
Falle: Konstruktionsspuren wegradieren — sie bleiben sichtbar, sie sind der Nachweis.
- Winkelsumme im Viereck = 360°. Kennst du drei Winkel, kannst du den vierten berechnen — das ist deine RECHNE-Kontrolle. RECHNE
3 · DREIECKE KONSTRUIEREN
▸ Dreiecke sind das Fundament jeder Viereckskonstruktion — die vier Konstruktionsbausteine werden vorausgesetzt:
▸ SWS — zwei Seiten + eingeschlossener Winkel · SSS — drei Seiten · WSW — zwei Winkel + eingeschlossene Seite · SSW — zwei Seiten + Gegenwinkel (Vorsicht: nicht immer eindeutig!)
▸ Winkelsumme im Dreieck = 180° — kennst du zwei Winkel, kannst du den dritten immer ausrechnen. RECHNE
4 · DAS HAUS DER VIERECKE
Alle Vierecke gehören zusammen: Spezielle Formen erben alle Eigenschaften ihrer Familie — und bekommen zusätzliche Eigenschaften. Die Pfeile zeigen, welche Eigenschaft dazukommt. Je weiter unten im Haus, desto spezieller die Figur.
Winkel α = 90°
→ aus dem Parallelogramm wird ein Rechteck
Diagonalen d₁ = d₂
→ aus der Raute wird ein Quadrat
Seite c = a
→ aus dem Trapez wird ein Parallelogramm
Seite c = 0
→ aus dem gleichschenkligen Trapez wird ein Dreieck
5 · RECHTECK & QUADRAT
RECHTECK & QUADRAT
FAMILIE: PARALLELOGRAMM- Rechteck: Viereck mit vier rechten Winkeln — gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel.
- Quadrat: Rechteck mit vier gleich langen Seiten — gleichzeitig Raute und Rechteck.
- Gegenüberseiten parallel und gleich lang
- Alle vier Winkel genau 90°
- Diagonalen gleich lang (Kontrolle: messen!) MISS
- Winkelsumme 360° RECHNE
Beispiel: Rechteck mit a = 5 cm und b = 3 cm (im Bild: a = c = 5 cm, b = d = 3 cm)
- Strecke AB = 5 cm abtragen. GF 1
- In A einen rechten Winkel errichten und senkrecht 3 cm abtragen → Punkt D. GF 2
- In B einen rechten Winkel errichten und senkrecht 3 cm abtragen → Punkt C. GF 2
- C und D verbinden. GF 1
- Kontrolle: CD = 5 cm mit dem Zirkel abgreifen und mit AB vergleichen; Diagonalen abgreifen — gleich lang? GF 5
- U = 2 · (5 cm + 3 cm) = 16 cm
- Quadrat 3 × 3 (im Bild): U = 4 · 3 cm = 12 cm
- Und ein 4 × 4-Quadrat? U = 4 · 4 cm = 16 cm — derselbe Umfang wie das 5 × 3-Rechteck!
- Denkpause: Zwei verschiedene Figuren, gleicher Umfang — der Umfang sagt also nichts über die Form!
- Beide Diagonalen sind gleich lang (mit dem Zirkel abgreifen und vergleichen).
- Alle vier Winkel prüfen: überall 90°?
- Rechte Winkel nicht exakt auf den Scheitelpunkten errichtet
- Der vierte Winkel wird nicht als automatisch recht erkannt (Winkelsumme 360°!)
- Maße „vom Geodreieck abgelesen" statt mit dem Zirkel abgetragen
Ein Rechteck ist 6 cm × 2 cm. Wie groß ist der Umfang?
Warum ist der vierte Winkel automatisch 90°?
Welche Diagonalen-Eigenschaft kannst du am fertigen Rechteck prüfen?
Im Haus der Vierecke: Sonderfall des Parallelogramms (+ vier rechte Winkel). Das Quadrat ist die Sonderform mit vier gleich langen Seiten.
6 · PARALLELOGRAMM
PARALLELOGRAMM
OBERGRIFF DER FAMILIE- Viereck mit paarweise parallelen Gegenseiten — Nachbarwinkel ergeben 180°.
- Gegenüberseiten gleich lang und parallel
- Gegenwinkel gleich: α = γ und β = δ
- Nachbarwinkel ergeben zusammen 180° RECHNE
- Diagonalen halbieren sich gegenseitig
Beispiel: a = 5 cm, d = 3 cm, α = 60° — wie im Bild
- Strecke AB = a = 5 cm abtragen. GF 1
- An A den Winkel α = 60° zu AB antragen — vorher überlegen: spitz! Geodreieck-Skala richtig lesen. GF 3
- Auf dem freien Schenkel AD = d = 3 cm abtragen. GF 1
- Zirkelbögen schlagen: um B mit r = 3 cm, um D mit r = 5 cm → Schnittpunkt = C. GF 1
- Verbinden und Kontrolle: gegenüberliegende Seiten mit dem Zirkel vergleichen — gleich lang? GF 5
- β = 180° − 60° = 120°, also γ = 60° und δ = 120°
- U = 2 · (5 cm + 3 cm) = 16 cm
- Bonus: α = 55° → β = 180° − 55° = 125°
- Höhe h ≈ 2,6 cm — ein Messergebnis! (Die Höhe aus d und α zu berechnen lernst du erst später.)
- Nach der Konstruktion: Gegenwinkel mit dem Geodreieck anlegen — gleich?
- Skalenfalle am Geodreieck: 120° statt 60° angetragen (Nulllinie auf den Schenkel legen!)
- α an der falschen Ecke angetragen — α sitzt an A, zwischen AB und AD
- Zirkelbögen nur um einen Punkt geschlagen — C ist der Schnittpunkt von ZWEI Bögen
α = 75°. Wie groß sind β, γ und δ?
Welche zwei Zirkelradien brauchst du im letzten Konstruktionsschritt — und warum?
Bei welchem α wird das Parallelogramm zum Rechteck?
Im Haus der Vierecke: Oberbegriff der Familie — bei α = 90° wird es zum Rechteck, mit vier gleich langen Seiten zur Raute.
7 · RAUTE
RAUTE
FAMILIE: PARALLELOGRAMM- Viereck mit vier gleich langen Seiten — die Diagonalen halbieren sich senkrecht.
- Alle vier Seiten gleich lang
- Gegenüberseiten parallel (geerbt vom Parallelogramm)
- Diagonalen halbieren sich senkrecht — genau das nutzen wir für die Konstruktion aus!
- Mindestens zwei Symmetrieachsen (die beiden Diagonalen)
Beispiel: d₁ = 6 cm, d₂ = 8 cm
- Die längere Diagonale DB = d₂ = 8 cm abtragen. GF 1
- Mittelsenkrechte zu DB konstruieren — nicht die Mitte schätzen! GF 4
- Zirkel auf 3 cm (= d₁/2) einstellen und auf der Mittelsenkrechten beidseits des Mittelpunkts P abtragen → A und C. GF 1
- A–B–C–D verbinden. GF 1
- Kontrolle: alle vier Seiten mit dem Zirkel abgreifen — wirklich gleich lang? GF 5
- U = 4 · 5 cm = 20 cm
- Beobachtung: Das Vierteldreieck um P hat die Seiten 3 und 4 (halbe Diagonalen) — und die Seite misst 5. Das 3-4-5-Muster! (Warum das exakt stimmt, lernst du später.)
- Seite s = 5 cm — Messergebnis der Konstruktion
- Diagonalen stehen wirklich senkrecht? Rechten Winkel an P anlegen.
- Mittelsenkrechte: Zirkelbögen nur um EINEN Endpunkt geschlagen (es müssen beide sein!)
- Die falsche Hälfte abgetragen: Auf der Mittelsenkrechten gehören 3 cm hin (= d₁/2, die halbe kurze Diagonale) — nicht 4 cm. Erst überlegen: Welche Diagonale liegt auf der Mittelsenkrechten?
- „Jede Raute ist ein Quadrat" — falsch! Nur wenn zusätzlich d₁ = d₂ gilt.
d₁ = 6 cm, d₂ = 8 cm. Wie groß sind Seite und Umfang?
Was passiert bei d₁ = d₂?
Warum legst du die kurze Diagonale auf die Mittelsenkrechte?
Im Haus der Vierecke: Sonderfall des Parallelogramms (+ vier gleich lange Seiten); bei d₁ = d₂ wird es zum Quadrat.
8 · DRACHENVIERECK
DRACHENVIERECK
EIGENE FAMILIE- Viereck mit zwei Paaren gleich langer Nachbarseiten — genau eine Symmetrieachse.
- AB = AD und CB = CD (je zwei gleiche Nachbarseiten)
- Genau eine Symmetrieachse: die Diagonale AC (Falt-Probe!)
- Die Achse halbiert die andere Diagonale und steht senkrecht auf ihr
- Die Achse selbst wird NICHT halbiert
Beispiel: AB = AD = 3 cm und CB = CD = 5 cm (wie im Bild) — Strategie: mit der Achse anfangen!
- Die Achse AC abtragen — ihre Länge darfst du frei wählen (hier 6 cm; sie muss zwischen 2 cm und 8 cm liegen, sonst schneiden sich die Bögen nicht). GF 1
- Zirkel auf 3 cm einstellen → Bögen um A schlagen (oben und unten). GF 1
- Zirkel auf 5 cm einstellen → Bögen um C schlagen → die Schnittpunkte der Bögen sind B und D (oben und unten). GF 1
- A–B–C–D–A verbinden. GF 1
- Kontrolle: Falt- oder Spiegelprobe entlang der Achse AC — beide Hälften deckungsgleich? GF 5
- U = 2 · 3 cm + 2 · 5 cm = 6 cm + 10 cm = 16 cm
- Den Umfang kannst du direkt aus der Angabe rechnen — ganz ohne Konstruktion.
- Kurze Diagonale f — an deiner Konstruktion messen (im Beispiel ≈ 5 cm)!
- Prüfe am Punkt P: Steht BD senkrecht auf der Achse? Und ist BD dort genau halbiert?
- Seitenpaare vertauscht: die 3-cm-Bögen gehören um A, die 5-cm-Bögen um C!
- Falscher Schluss: „Die Achse wird halbiert" — nein, die Achse halbiert die ANDERE Diagonale.
- „f rechne ich mit halber Achse aus": Falle! Der Schnittpunkt P liegt NICHT in der Achsenmitte (er liegt näher bei A) — f ist Messergebnis, nichts anderes.
Welche Punkte musst du zuerst zeichnen — und warum?
Umfang bei den Seitenpaaren 3 cm und 5 cm?
Kannst du die kurze Diagonale f mit „halbe Achse + Rechnung" bestimmen?
Im Haus der Vierecke: eigene Familie — die Symmetrieachse ist die lange Diagonale. (Auch das Quadrat hat gleich lange Nachbarseiten, aber dann vier Symmetrieachsen.)
9 · TRAPEZ (GLEICHSCHENKLIG)
TRAPEZ (GLEICHSCHENKLIG)
EIGENE FAMILIE- Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Gegenseiten — gleichschenklig: Schenkel gleich lang, Achse mittig.
- a ∥ c (die Parallelen) und b = d (gleich lange Schenkel)
- Gleichschenklig: die Winkel an derselben Grundlinie sind gleich groß (α = β, γ = δ)
- Die Symmetrieachse steht mittig (senkrecht) auf den Parallelen
- Mittellinie m = (a + c) / 2 RECHNE
- Grenzfälle: c = a → Parallelogramm · c = 0 → Dreieck
Beispiel: a = 10 cm, c = 4 cm, h = 4 cm — Strategie: über die Symmetrieachse!
- Die untere Parallele AB = a = 10 cm abtragen. GF 1
- Mittelsenkrechte zu AB konstruieren — sie wird die Symmetrieachse. GF 4
- Auf der Mittelsenkrechten im Abstand h = 4 cm von AB einen Punkt markieren (Zirkel oder Geodreieck) — von dort 2 cm (= c/2) nach links und rechts abtragen → D und C. GF 1
- D–A und C–B verbinden. GF 1
- Kontrolle: Schenkel mit dem Zirkel abgreifen — gleich lang? Dann gleichschenklig. GF 5
- Mittellinie: m = (10 cm + 4 cm) / 2 = 7 cm
- Umfang (mit dem gemessenen Schenkel ≈ 5 cm): U = 10 cm + 4 cm + 5 cm + 5 cm = 24 cm
- Schenkel ≈ 5 cm — Messergebnis! (Beobachtung: das Hilfsdreieck hat die Seiten 3 und 4 → wieder das 3-4-5-Muster; der Grund dafür kommt später.)
- Prüfe: Steht die Höhe wirklich senkrecht? Liegt c genau mittig über a?
- Die obere Seite c „irgendwo mittig geschätzt" statt über die Mittelsenkrechte zentriert
- Die Höhe h entlang der schrägen Schenkel abgetragen statt senkrecht
- Die Grenzfälle nicht verstanden: c = a macht ein Parallelogramm daraus, c = 0 ein Dreieck
a = 12 cm, c = 6 cm. Wie lang ist die Mittellinie m?
Warum muss c auf der Mittelsenkrechten zentriert werden?
Was wird aus der Figur, wenn c = a gilt?
Im Haus der Vierecke: eigene Familie — mit den Grenzfällen c = a (Parallelogramm) und c = 0 (Dreieck).
10 · GLOSSAR
| BEGRIFF | DEFINITION |
|---|---|
| Rechteck | Viereck mit vier rechten Winkeln — gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel. |
| Quadrat | Rechteck mit vier gleich langen Seiten — gleichzeitig Raute und Rechteck. |
| Raute | Viereck mit vier gleich langen Seiten — die Diagonalen halbieren sich senkrecht. |
| Parallelogramm | Viereck mit paarweise parallelen Gegenseiten — Nachbarwinkel ergeben 180°. |
| Drachenviereck | Viereck mit zwei Paaren gleich langer Nachbarseiten — genau eine Symmetrieachse. |
| (Gleichschenkliges) Trapez | Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Gegenseiten — gleichschenklig: Schenkel gleich lang, Achse mittig. |
| Diagonale | Verbindungslinie zweier gegenüberliegender Ecken — z. B. die Achse AC beim Drachenviereck. |
| Symmetrieachse | Spiegellinie, an der sich beide Hälften deckungsgleich überlagern (Falt-Probe!). |
| Mittelsenkrechte | Gerade durch die Mitte einer Strecke, senkrecht zu ihr — konstruiert mit zwei gleich großen Zirkelbögen um beide Endpunkte. |
| Umfang | Alle vier Seiten addiert — z. B. Rechteck: 2 · (5 cm + 3 cm) = 16 cm. |
| Mittellinie (Trapez) | Verbindung der Schenkel-Mitten — Länge = (a + c) / 2. |
| Konstruktionsspuren | Alle Hilfslinien und Zirkelbögen — bleiben sichtbar! Sie sind der Nachweis deiner Konstruktion. |